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影响了全部世界的新几何学

admin2020-03-19 19:25:19150人围观

  原题目:影响了全部世界的新几何学

  起源于古希腊的几何学理念在两千多年以来不时贯穿在人类的思维中,不论是迷信照样哲学,乃至政治和艺术都是几何学思维的结晶。然则,19 世纪初,几何学却经历了一场革命:人们发明,空间不必然非得是古希腊数学家欧几里德刻画的那样,还可以有完整分歧的几何学。在本文中,我们就将看到这一革命性的看法是若何影响哲学、迷信、文明和艺术的。

  欧几里德的世界

  让我们先做一个试验吧:想象一个平面,下面有一条直线L和一个不在L上的点P。平面上有若干条线平行于直线L并经过点P?

  

  有若干条线经过点 P 并平行于直线 L?

  假设你的答案是“明显只要一条”,那么你的直觉就是欧几里德式的。欧几里德也置信经过直线外一点只能够有一条直线与已知直线平行(欧几里得“证实”了该命题,但它实践上是不能由欧几里得几何中的其他公理和定理导出的,只能作为欧几里德几何系统中的第五条公设,欧几里得公设以下面的方框中所示)。

  欧几里德公设:

  1 任意两点肯定可以用一条直线连接。

  2 一条有限直线可以有限延长。

  3 以任一点为圆心,任一长度为半径可以作一个圆。

  4 一切直角彼此相等。

  5 假设一条直线与两条直线订交,统一侧的内角之和小于两个直角,则两条直线在有限延长后,在该侧订交。(这条公设与“过直线外一点只能够有一条直线与已知直线平行”相互等价,可以证实。)

  然则假设你思考在一个不是平面的外表上的线呢?下图展现了一个称为“双曲抛物面”的鞍形面:

  

  该模型上绘制的线是抛物面的“直线”:它们是点间距离最短的门路。然则请留心,粉线和黄线都平行于蓝线,而它们都经统一个点。更主要的是,蓝色和黄色的平行线并不是与平面上的平行线一样处处距离相等。

  抱负证实,双曲抛物面上也能够构成一个完整公道、自洽的几何空间。本来空间可以不用契合欧几里得的刻画(和我们的直觉感知)——这类看法关于 19 世纪的数学家和思维家来讲真实是太革命性了,以致于大年夜数学家高斯发清晰明了该抱负,却从未兴起勇气颁布发表关于这个后果的任务。但后来黎曼(Bernhard Riemann)等数学家纷纷提醒,除下面提到的双曲抛物面以外,还存在着很多非欧空间。

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